Movimiento Armonico Simple

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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (MAS)

Movimiento Oscilatorio: Movimiento que se repite  sigue la misma trayectoria; es decir que es todo movimiento de vaivén respecto a un punto fijo.

La trayectoria es de A – B – A → 1 Oscilación

La trayectoria es de A – B → 1/2 Oscilación

La trayectoria es de A – O → 1/4 Oscilación

Movimiento Periódico: Movimiento que se repite en iguales intervalos de tiempo.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (MAS)

Es un  movimiento rectilíneo realizado por un móvil (puede darse tanto en el eje X como en el eje Y) que es oscilatorio y periódico.

Al

conjunto

Bloque-Resorte

se le

conoce

como

Movimiento

Armónico

MAS → no hay roza)miento o fricción.

PE = posición de equilibrio

Período (T) → Es el tiempo que toma el móvil en una oscilación completa de un cuerpo unido a un resorte. El periodo depende solo de la masa del cuerpo.

Frecuencia (f) → Es el número de oscilaciones realizadas en una unidad de tiempo.

f = 1/T

Elongación (x) → Es la distancia que separa al móvil de su posición de equilibrio.

Amplitud (A) → Máxima elongación alcanzada por el cuerpo que oscila.

A = x_max

FUERZA DEFORMADORA

Fuerza exterior que deforma total (permanente) o parcialmente un cuerpo.

Si esta fuerza deforma en forma lineal y parcial un cuerpo elástico; el módulo de dicho cuerpo obedece a la Ley de Hook (F=Kx)

FUERZA RECUPERADORA

Fuerza interna que presentan los cuerpos elásticos al ser comprimidos o estirados.(F=-Kx)

RELACION MAS - MCU

Si una partícula se desplaza con movimiento circunferencial uniforme, sus proyecciones sobre su diámetro cumplen con los requisitos del MAS.

El radio de la circunferencia es igual a la Amplitud en el MAS.

ECUACIONES DEL MAS

I) Ecuación de la posición:

Es la ecuación para determinar la posición (x) del móvil en cualquier instante de tiempo (t).

 = Asen(ωt + θ)

 = posición en m (elongación)

A = amplitud en m

ω = Frecuencia cíclica en rad/s

ω → en MCU es rapidez angular

θ = Fase inicial en rad

θ → Su valor depende la posición y velocidad inicial.

f → Frecuencia oscilatoria en Hertz

ω =  = 2πf →  T =

Ejemplo 1: Si la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es:

 = 0,5sen(πt + π/4)m

Hallar el tiempo que demora el móvil en dar una oscilación completa.

Nos piden calcular el periodo (T)

 =   (I)

- Calculo de la frecuencia cíclica (ω)

En la ecuación dada, comparamos con la ecuación de posición.

 = 0,5sen(πt + π/4)m

 = Asen(ωt + θ)

(II) en (I):

T =  → T =  

T = 2s

OJO: De la ecuación de movimiento dado en el ejercicio se podría obtener también los valores de:

 = 0,5sen(πt + π/4)m

A = 0,5m

θ = π/4rad

f = 1/T → f = 0,5Hz

II) Ecuación de la velocidad

Es la ecuación que nos permite determinar la velocidad del móvil en cualquier instante del tiempo.

 = A𝛚cos(ωt + θ)

Velocidad máxima = Aω

III) Ecuación de la aceleración

Es la ecuación que nos permite determinar la aceleración del móvil en cualquier instante del tiempo.

 = -Aω²sen(ωt + θ)

 = -ω²

(El signo – indica que   y  son de direcciones contrarias)

a = ω²x

Aceleración máxima  =  Aω²  (en los extremos)

Aceleración mínima  =  0  (en el PE)

Ejemplo 2: ¿Cuál será la velocidad lineal máxima de un MAS, si tiene una amplitud de 0,5m y su frecuencia es 3Hz?

ω = 2πf → ω = 2π(3) → ω = 6π rad/s

Velocidad lineal máxima = Aω

Aω = (0,5)(6π) = 3π m/s

Ejemplo 3: Un cuerpo con MAS tiene una aceleración de 4π²m/s² cuando llega a su extremo. Si su frecuencia es de 2Hz, hallar la amplitud de sus oscilaciones.

- Cuando el cuerpo llega a su extremo significa que es la su máxima distancia de la oscilación es decir que es igual a la amplitud.

ω = 2πf → ω = 2π(2)

ω = 4π rad/s

Aceleración máxima:

Aω² = 4π²

A(4π)² = 4π²

A = 0.25m

DINAMICA DEL MÁS

La fuerza resultante de una partícula con MAS: (Ley de Hooke)

F = kx

2º ley de Newton:

F_R = ma

F = F_R → kx = ma → kx = mω²x

 ω =  →  =

T = 2π

ENERGIA DEL SISTEMA

E_sistema = Ec + Ep

kA² = mv² + kx²

V = ω

V → Velocidad de “m” en el instante que se encuentra a la distancia “x” de la PE.

Ejemplo 4: Una esfera cuelga en forma vertical del extremo de un resorte cuya oscilación es 2s.

Hallar la masa inicial del resorte cuando se  le aumenta 2kg y la oscilación es el doble.

T = 2π  →  T = 2π ( ) = 2π

T = 2π     

INICIALMENTE:

T = 2sg

T = 2π  → 2 = 2π  

 =          (1)

AUMENTO:

T = 2s y m = 2kg

T = 2π  → 4 = 2π

 =       (2)

(1) = (2)

 =    →  = ( )

4m = m + 2

m = 2/3kg

ASOCIACION DE RESORTES

Un conjunto de resortes se puede sustituir por un solo resorte equivalente denominado constante equivalente (Ke).

Cuando los resortes están unidos a masas, se pueden conectar en dos formas básicas:

- Serie

- Paralelo

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